on dessine un cercle de rayon 1, et dans ce cercle on trace des cordes (= des traits qui relient deux points du bord du cercle) au hasard. comment se répartissent les longueurs de ces cordes ? est-ce qu'il y a beaucoup de petites proches de 0, de grandes proches de 2, ou quelque part entre ? comment ça se passe ?
le paradoxe de Bertrand (une vidéo dessus, la page wiki) est un problème de géométrie montrant que cette répartition dépend de ce qu'on entend par "cordes tracées au hasard". dans cette page on va étudier trois de ces définitions. et pour chacune des trois on va : expliquer le procédé de tirage, simuler une ou de nombreuses cordes pour estimer la répartition, et expliquer mathématiquement pourquoi on trouve cette répartition.
1 - Extrémités au hasard
ici pour tracer une corde, on pioche deux points uniformément sur le bord du cercle et on les relie.
Notons les deux points tirés \(a_1 = (cos \theta_1, \; sin\theta_1)\) et \(a_2 = (cos\theta_2, sin\theta_2)\), avec
$$ \theta_1, \theta_2 \sim \mathcal{U}(0, 2\pi)$$
La distance les séparant est :
$$ \begin{array}{rcll}
R & = & d(a_1, a_2) \\
& = & (cos \theta_1-cos \theta_2)^2 + (sin \theta_1-sin \theta_2)^2 \\
& = & \sqrt{2 - 2 cos \theta_1 cos \theta_2 - 2 sin \theta_1 sin \theta_2} \\
& = & \sqrt{2 - 2 cos(\theta_1 - \theta_2)} \\
& = & \sqrt{2 - 2 cos(\theta_1 - \theta_2 \; mod \; 2\pi)} \\
\end{array} $$
\(\theta^* := \theta_1 - \theta_2 \; mod \; 2\pi\) suit également une loi \( \mathcal{U}(0, 2\pi) \).
Intéressons-nous aux fonctions de répartition :
$$ \begin{array}{rcll}
\forall x \in [-1, 1], \quad \mathbb{P}(cos(\theta^*) \le x) & = & \mathbb{P}(\theta^* \ge arccos(x)) \\
& = & 1 - \frac{arccos(x)}{\pi} \\
\end{array} $$
Ce dont on déduit :
$$ \begin{array}{rcll}
\forall x \in [0, 2], \quad F_R(x) & = & \mathbb{P}(R \le x) \\
& = & \mathbb{P}(\sqrt{2 - 2 cos(\theta^*)} \le x) \\
& = & \mathbb{P}(cos(\theta^*) \ge \frac{1-x^2}{2}) \\
& = & \frac{arccos(\frac{1-x^2}{2})}{\pi}
\end{array} $$
Enfin, la fonction de densité s'obtient en dérivant la précédente :
$$\forall x \in [0, 2], \quad f_R(x) = F_R'(x) = \frac{2}{\pi \sqrt{4-x^2}}$$
2 - Rayon au hasard
dans cette méthode, on choisit une distance au centre aléatoirement 0 et 1, puis un point qui correspond. ce point est le centre d'une corde que l'on trace.
Le rayon \(r\) du point sélectionné (=la croix grise dans 'Simuler une corde') suit une loi uniforme
$$ r \sim \mathcal{U}(0, 1) $$
On remarque que le rayon et la corde forment un angle droit. D'après le théorème de Pythagore :
$$ r^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = 1^2$$
$$ \Leftrightarrow R = 2\sqrt{1-r^2}$$
Calculons à présent la loi de répartition de \(R\).
$$ \begin{array}{rcll}
\forall x \in [0, 2], \quad F_R(x) & = & \mathbb{P}(R \le x) \\
& = & \mathbb{P}(2\sqrt{1-r^2} \le x) \\
& = & \mathbb{P}(r \ge \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}) \\
& = & 1 - \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}
\end{array} $$
Enfin, la fonction de densité s'obtient en dérivant la précédente :
$$ \forall x \in [0, 2], \quad f_R(x) = F_R'(x) = \frac{x}{2 \sqrt{4-x^2}}$$
3 - Milieu au hasard
enfin ici, on va piocher un point au hasard à l'intérieur du cercle. ce point est le centre d'une corde que l'on trace.
Le point (=la croix grise dans 'Simuler une corde') est tiré à l'intérieur du disque, on s'intéresse à sa distance \(r\) du centre. La probabilité qu'il se trouve dans \(D(0, x)\), càd le disque de rayon \(x\) autour du centre, équivaut au rapport entre l'aire de ce disque et l'aire du disque entier.
$$ \forall x \in [0, 1], \quad \mathbb{P}(r \le x) = \frac{\mathcal{A}_{D(0, x)}}{\mathcal{A}_{D(0, 1)}} = \frac{\pi x^2}{\pi 1^2} = x^2 $$
Puis, de la même manière que dans la preuve de la partie 2, on peut relier \(r\) avec la taille de la corde à l'aide du théorème de Pythagore :
$$ r^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = 1^2$$
$$ \Leftrightarrow R = 2\sqrt{1-r^2}$$
Calculons à présent la loi de répartition de \(R\).
$$ \begin{array}{rcll}
\forall x \in [0, 2], \quad F_R(x) & = & \mathbb{P}(R \le x) \\
& = & \mathbb{P}(2\sqrt{1-r^2} \le x) \\
& = & \mathbb{P}(r \ge \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}) \\
& = & 1 - \left(\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}\right)^2 \\
& = & \frac{x^2}{4}
\end{array} $$
Enfin, la fonction de densité s'obtient en dérivant la précédente :
$$ \forall x \in [0, 2], \quad f_R(x) = F_R'(x) = \frac{x}{2}$$