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autoroute

l'autoroute est un jeu de boisson avec des cartes qu'un ami m'a appris il y a quelques années. voici ses règles.

on place une ligne de cartes face apparente devant le joueur (c'est l'autoroute). il commence devant la carte située en case n°1, celle le plus à gauche. tour à tour, le maître du jeu demande au joueur "plus haut ou plus bas ?", et dévoile une carte du paquet qu'il compare à celle devant le joueur. si la prédiction annoncée par le joueur est exacte, il avance d'une case. si elle est incorrecte, le joueur redescend au tout début et prend un nombre de pénalités égal à la position de sa case. si les deux cartes sont égales, il redescend aussi mais avec des pénalités doubles. la partie s'arrête lorsque le joueur a traversé l'autoroute, c'est-à-dire lorsqu'il a franchi la dernière case.

il existe une variante appelée "autoroute avec péage" : la carte au centre de l'autoroute est face cachée, et sa valeur est connue du maître du jeu mais pas du joueur. à chaque fois qu'il atteint le péage, le joueur doit deviner la valeur de la carte, et le maître du jeu lui répond "c'est plus haut", "c'est plus bas", ou "c'est correct". dans les deux premiers cas le joueur revient au départ avec une pénalité ; et dans le troisième cas le joueur revient aussi au départ avec une pénalité, mais le péage est retourné face visible et se comportera désormais comme une case normale.

de toute façon c'est assez bien illustré juste en bas voilà bon jeu


Taille de l'autoroute :
3 9
Nombre de cartes par couleur :
1 13


 

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Nombre de parties à simuler :
100 1000000

Quelques détails sur l'algorithme

une fois les réglages effectués, il permet de faire une partie. si l'on a activé la variante péage, les indications "plus haut"/"plus bas" reçues au péage sont indiquées dans la boîte en bas à droite.

dans les simulations, l'ordi prend sa décision en minimisant le risque. il dit "plus haut" si la valeur est plus basse que la médiane du paquet (ex: '8' dans un paquet '2 3 4 5 6 7 8 9 10 V D R A') et "plus bas" si inversement. et pour la recherche du péage, il procède par dichotomie en initialisant ses bornes à la plus faible et plus forte valeur du paquet, et en les mettant à jour à chaque nouvel indice.

Observations

Lorsque l'on fait simuler des parties d'autoroute, on remarque que l'histogramme affiche un grand pic pour "zéro pénalité". On peut mathématiquement déterminer cette probabilité \(P_{m,N}\) de n'avoir aucune pénalité, en fonction du nombre \(m\) de valeurs de cartes et de la longueur \(N\) de l'autoroute.


Pour tous \(m, N>0\), \(P_{m,N} = \mathbb{P}(A_{m,1} \cap \dots \cap A_{m,N}\)), \(\;\) avec \(A_{m,i}\) = "dans le jeu d'autoroutes à \(4m\) cartes, la \(i\)-ème case est correctement devinée". Pour simplifier les choses et parce que je n'ai pas tout de suite envie de développer d'immenses calculs, on peut approximer les évenements \(A_{m,i}\) comme indépendants, et donc

$$\begin{equation} P_{m,N} \simeq \prod_{i=1}^N\mathbb{P}(A_{m,i}) = [\mathbb{P}(A_{m,1})]^N \end{equation}$$

En notant, pour tout \(k\) valeur de carte dans le paquet, \(C_{m,i,k}\) = "dans le jeu d'autoroutes à \(4m\) cartes, la carte montrée à la \(i\)-ème case est de valeur \(k\)", la formule des probabilités totales donne :

$$\begin{equation} \mathbb{P}(A_{m,1}) = \sum_{k \text{ valeur}}^{} \mathbb{P}_{C_{m,i,k}}(A_{m,1}) \cdot \mathbb{P}(C_{m,i,k}) \end{equation}$$

Le paquet étant mélangé avant de former de l'autoroute, on a \(\mathbb{P}(C_{m,i,k}) = 1/m\).

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Commençons par le cas classique du jeu de cinquante-deux cartes : \(m=13\). Ici les valeurs prises dans le paquet sont les élements de l'ensemble \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,V,D,R,A\}\), sur lesquels on sommera l'équation \((2)\).

Face à la carte comparée, la carte piochée (dont on doit dire si elle est "plus haute" ou "plus basse") peut être n'importe laquelle des 51 autres. Si la carte comparée est inférieure à 8, la stratégie du joueur est de dire "plus haut" ; et inversement. Ainsi

$$\begin{equation} \forall k < 8, \quad \mathbb{P}_{C_{13,i,k}}(A_{13,1}) = \frac{\# \text{cartes supérieures à k}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \end{equation}$$
carte k 2 3 4 5 6 7
# cartes supérieures à k 48 44 40 36 32 28

Et de l'autre côté,

$$\begin{equation} \forall k > 8, \quad \mathbb{P}_{C_{13,i,k}}(A_{13,1}) = \frac{\# \text{cartes inférieures à k}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \end{equation}$$
carte k 9 10 V D R A
# cartes inférieures à k 28 32 36 40 44 48

Et de l'autre autre côté,

$$ \begin{align*} \mathbb{P}_{C_{13,i,8}}(A_{m,1}) & = \mathbb{P}_{C_{13,i,8} \; \cap \; \text{"plus haut"}}(A_{13,1}) \cdot \mathbb{P}(\text{"plus haut"}) + \mathbb{P}_{C_{13,i,8} \; \cap \; \text{"plus bas"}}(A_{13,1}) \cdot \mathbb{P}(\text{"plus bas"})\\ & = \frac{\# \text{cartes supérieures à 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2 + \frac{\# \text{cartes inférieures à 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2\\ & = \frac{\# \text{cartes différentes de 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2\\ & = 48/(2 \cdot 51) = 24/51 \end{align*} $$

Ainsi,

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{13} \cdot \left(\frac{48}{51} + \frac{44}{51} + \frac{40}{51} + \frac{36}{51} + \frac{32}{51} + \frac{28}{51} + \frac{24}{51} + \frac{28}{51} + \frac{32}{51} + \frac{36}{51} + \frac{40}{51} + \frac{44}{51} + \frac{48}{51}\right) \\ & = 480/663 \\ & = 160/221 \approx 72.4\% \end{align*}$$

Inséré dans l'équation (1), on obtient \(P_{13, 3} \simeq 37.9\%\), \(\; P_{13, 4} \simeq 27.5\%\), \(\; P_{13, 5} \simeq 19.9\%\), \(\; P_{13, 6} \simeq 14.4\%\), \(\; P_{13, 7} \simeq 10.4\% \dots\) Ce sont des résultats que l'on retrouve avec une grande précision dans les simulations.


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Revenons aux cas généraux, où l'on numérote à partir de maintenant les cartes avec \(\{1, \dots, m\}\). Commençons par le cas \(m\) impair.

La stratégie diffère selon si la carte comparée est strictement inférieure, égale, ou strictement supérieure à \( \frac{m+1}{2}\). Ainsi les équations \((3)\) et \((4)\) sont toujours valides, en remplaçant \("13"\) par \("m"\) et \("8"\) par \("\frac{m-1}{2}"\).

Le nombre de cartes inférieures à \(k\), resp supérieures à et différentes de, est alors \(4(k-1)\), resp \(4(m-k)\) et \(4(m-1)\). De plus, le paquet contient \(4m-1\) cartes en omettant la carte comparée. L'équation \((2)\) devient donc :

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{m} \left[\sum_{k = 1}^{(m-1)/2}\frac{4(m-k)}{4m-1} + \frac{1}{2}\cdot \frac{4(m-1)}{4m-1} + \sum_{k = (m+3)/2}^{m} \frac{4(k-1)}{4m-1}\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m-1}{2} + 2 \sum_{k = (m+1)/2}^{m-1} k\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m-1}{2} + m(m-1) - \left(\frac{m+1}{2}\right)\left(\frac{m-1}{2}\right)\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{(m-1)(3m+1)}{4}\right] \\ \end{align*}$$
$$\mathbb{P}(A_{m,1}) = \frac{(m-1)(3m+1)}{m(4m-1)}$$

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Dans le cas \(m\) pair, il convient de remarquer que les deux cas de stratégies concernent les ensembles des cartes inférieures ou égales à \(\frac{m}{2}\), et supérieures ou égales à \(\frac{m}{2} + 1\).

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{m} \left[\sum_{k = 1}^{m/2}\frac{4(m-k)}{4m-1} + \sum_{k = m/2 + 1}^{m} \frac{4(k-1)}{4m-1}\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[2 \sum_{k = m/2}^{m-1} k\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[m(m-1) - \left(\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1\right)\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m(3m-2)}{4}\right] \end{align*}$$
$$\mathbb{P}(A_{m,1}) = \frac{3m-2}{4m-1}$$

Connaissant les formules de \(\mathbb{P}(A_{m,1})\) pour tout entier \(m\), et en approximant \(P_{m,N} \simeq [\mathbb{P}(A_{m,1})]^N\) la probabilité d'obtenir zéro pénalité sur une autoroute à \(m\) valeurs de longueur \(N\), les probabilités sont :


\(P_{m,N}\) m=6m=7m=8m=9m=10m=11m=12m=13
N=1 69.6% 69.8% 71.0% 71.1% 71.8% 71.9% 72.3% 72.4%
N=2 48.4% 48.8% 50.4% 50.6% 51.5% 51.7% 52.3% 52.4%
N=3 33.7% 34.1% 35.7% 36.0% 37.0% 37.1% 37.9% 37.9%
N=4 23.4% 23.8% 25.4% 25.6% 26.6% 26.7% 27.4% 27.5%
N=5 16.3% 16.6% 18.0% 18.2% 19.1% 19.2% 19.8% 19.9%
N=6 11.3% 11.6% 12.8% 12.9% 13.7% 13.8% 14.3% 14.4%
N=7 7.9% 8.1% 9.1% 9.2% 9.8% 9.9% 10.4% 10.4%
La dernière colonne coïncide bien avec nos résultats sur \(m=13\).

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Même si mon simulateur ne permet pas d'afficher autre que \(n=4\) couleurs (manque d'envie d'imaginer d'autres symboles), on peut généraliser les précédents calculs à d'autres nombres \(n\) de couleurs. Il suffit de remplacer les \("4m-1"\), \("4(k-1)"\), et \("4(m-k)"\) de nos calculs par \("nm-1"\), \("n(k-1)"\) et \("n(m-k)"\). On trouve :

$$\begin{array}{l l} \mathbb{P}(A_{n,m,1}) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{n(m-1)(3m+1)}{4m(nm-1)} & \text{ si } m \text{ est impair} \\ & \frac{n(3m-2)}{4(nm-1)} & \text{ si } m \text{ est pair}. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{array}$$