autoroute

Pour tous \(m, N>0\), \(P_{m,N} = \mathbb{P}(A_{m,1} \cap \dots \cap A_{m,N}\)), \(\;\) avec \(A_{m,i}\) = "dans le jeu d'autoroutes à \(4m\) cartes, la \(i\)-ème case est correctement devinée". Pour simplifier les choses et parce que je n'ai pas tout de suite envie de développer d'immenses calculs, on peut approximer les évenements \(A_{m,i}\) comme indépendants, et donc

$$\begin{equation} P_{m,N} \simeq \prod_{i=1}^N\mathbb{P}(A_{m,i}) = [\mathbb{P}(A_{m,1})]^N \end{equation}$$

En notant, pour tout \(k\) valeur de carte dans le paquet, \(C_{m,i,k}\) = "dans le jeu d'autoroutes à \(4m\) cartes, la carte montrée à la \(i\)-ème case est de valeur \(k\)", la formule des probabilités totales donne :

$$\begin{equation} \mathbb{P}(A_{m,1}) = \sum_{k \text{ valeur}}^{} \mathbb{P}_{C_{m,i,k}}(A_{m,1}) \cdot \mathbb{P}(C_{m,i,k}) \end{equation}$$

Le paquet étant mélangé avant de former de l'autoroute, on a \(\mathbb{P}(C_{m,i,k}) = 1/m\).

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Commençons par le cas classique du jeu de cinquante-deux cartes : \(m=13\). Ici les valeurs prises dans le paquet sont les élements de l'ensemble \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,V,D,R,A\}\), sur lesquels on sommera l'équation \((2)\).

Face à la carte comparée, la carte piochée (dont on doit dire si elle est "plus haute" ou "plus basse") peut être n'importe laquelle des 51 autres. Si la carte comparée est inférieure à 8, la stratégie du joueur est de dire "plus haut" ; et inversement. Ainsi

$$\begin{equation} \forall k < 8, \quad \mathbb{P}_{C_{13,i,k}}(A_{13,1}) = \frac{\# \text{cartes supérieures à k}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \end{equation}$$

carte k	2	3	4	5	6	7
# cartes supérieures à k	48	44	40	36	32	28

Et de l'autre côté,

$$\begin{equation} \forall k > 8, \quad \mathbb{P}_{C_{13,i,k}}(A_{13,1}) = \frac{\# \text{cartes inférieures à k}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \end{equation}$$

carte k	9	10	V	D	R	A
# cartes inférieures à k	28	32	36	40	44	48

Et de l'autre autre côté,

$$ \begin{align*} \mathbb{P}_{C_{13,i,8}}(A_{m,1}) & = \mathbb{P}_{C_{13,i,8} \; \cap \; \text{"plus haut"}}(A_{13,1}) \cdot \mathbb{P}(\text{"plus haut"}) + \mathbb{P}_{C_{13,i,8} \; \cap \; \text{"plus bas"}}(A_{13,1}) \cdot \mathbb{P}(\text{"plus bas"})\\ & = \frac{\# \text{cartes supérieures à 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2 + \frac{\# \text{cartes inférieures à 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2\\ & = \frac{\# \text{cartes différentes de 8}}{\#\text{cartes dans tout le paquet}} \cdot 1/2\\ & = 48/(2 \cdot 51) = 24/51 \end{align*} $$

Ainsi,

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{13} \cdot \left(\frac{48}{51} + \frac{44}{51} + \frac{40}{51} + \frac{36}{51} + \frac{32}{51} + \frac{28}{51} + \frac{24}{51} + \frac{28}{51} + \frac{32}{51} + \frac{36}{51} + \frac{40}{51} + \frac{44}{51} + \frac{48}{51}\right) \\ & = 480/663 \\ & = 160/221 \approx 72.4\% \end{align*}$$

Inséré dans l'équation (1), on obtient \(P_{13, 3} \simeq 37.9\%\), \(\; P_{13, 4} \simeq 27.5\%\), \(\; P_{13, 5} \simeq 19.9\%\), \(\; P_{13, 6} \simeq 14.4\%\), \(\; P_{13, 7} \simeq 10.4\% \dots\) Ce sont des résultats que l'on retrouve avec une grande précision dans les simulations.

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Revenons aux cas généraux, où l'on numérote à partir de maintenant les cartes avec \(\{1, \dots, m\}\). Commençons par le cas \(m\) impair.

La stratégie diffère selon si la carte comparée est strictement inférieure, égale, ou strictement supérieure à \( \frac{m+1}{2}\). Ainsi les équations \((3)\) et \((4)\) sont toujours valides, en remplaçant \("13"\) par \("m"\) et \("8"\) par \("\frac{m-1}{2}"\).

Le nombre de cartes inférieures à \(k\), resp supérieures à et différentes de, est alors \(4(k-1)\), resp \(4(m-k)\) et \(4(m-1)\). De plus, le paquet contient \(4m-1\) cartes en omettant la carte comparée. L'équation \((2)\) devient donc :

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{m} \left[\sum_{k = 1}^{(m-1)/2}\frac{4(m-k)}{4m-1} + \frac{1}{2}\cdot \frac{4(m-1)}{4m-1} + \sum_{k = (m+3)/2}^{m} \frac{4(k-1)}{4m-1}\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m-1}{2} + 2 \sum_{k = (m+1)/2}^{m-1} k\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m-1}{2} + m(m-1) - \left(\frac{m+1}{2}\right)\left(\frac{m-1}{2}\right)\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{(m-1)(3m+1)}{4}\right] \\ \end{align*}$$

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Dans le cas \(m\) pair, il convient de remarquer que les deux cas de stratégies concernent les ensembles des cartes inférieures ou égales à \(\frac{m}{2}\), et supérieures ou égales à \(\frac{m}{2} + 1\).

$$\begin{align*} \mathbb{P}(A_{m,1}) & = \frac{1}{m} \left[\sum_{k = 1}^{m/2}\frac{4(m-k)}{4m-1} + \sum_{k = m/2 + 1}^{m} \frac{4(k-1)}{4m-1}\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[2 \sum_{k = m/2}^{m-1} k\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[m(m-1) - \left(\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1\right)\right] \\ & = \frac{4}{m(4m-1)} \left[\frac{m(3m-2)}{4}\right] \end{align*}$$

Connaissant les formules de \(\mathbb{P}(A_{m,1})\) pour tout entier \(m\), et en approximant \(P_{m,N} \simeq [\mathbb{P}(A_{m,1})]^N\) la probabilité d'obtenir zéro pénalité sur une autoroute à \(m\) valeurs de longueur \(N\), les probabilités sont :

\(P_{m,N}\)	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10	m=11	m=12	m=13
N=1	69.6%	69.8%	71.0%	71.1%	71.8%	71.9%	72.3%	72.4%
N=2	48.4%	48.8%	50.4%	50.6%	51.5%	51.7%	52.3%	52.4%
N=3	33.7%	34.1%	35.7%	36.0%	37.0%	37.1%	37.9%	37.9%
N=4	23.4%	23.8%	25.4%	25.6%	26.6%	26.7%	27.4%	27.5%
N=5	16.3%	16.6%	18.0%	18.2%	19.1%	19.2%	19.8%	19.9%
N=6	11.3%	11.6%	12.8%	12.9%	13.7%	13.8%	14.3%	14.4%
N=7	7.9%	8.1%	9.1%	9.2%	9.8%	9.9%	10.4%	10.4%

La dernière colonne coïncide bien avec nos résultats sur \(m=13\).

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Même si mon simulateur ne permet pas d'afficher autre que \(n=4\) couleurs (manque d'envie d'imaginer d'autres symboles), on peut généraliser les précédents calculs à d'autres nombres \(n\) de couleurs. Il suffit de remplacer les \("4m-1"\), \("4(k-1)"\), et \("4(m-k)"\) de nos calculs par \("nm-1"\), \("n(k-1)"\) et \("n(m-k)"\). On trouve :

$$\begin{array}{l l} \mathbb{P}(A_{n,m,1}) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{n(m-1)(3m+1)}{4m(nm-1)} & \text{ si } m \text{ est impair} \\ & \frac{n(3m-2)}{4(nm-1)} & \text{ si } m \text{ est pair}. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{array}$$